El triángulo de Pascal se puede usar como un atajo para encontrar el valor de una combinación es decir, para calcular todas las formas posibles de elegir r miembros de un grupo que tiene n elementos. Este número se representa por ${n \choose r}$ y es igual a $\frac{n!}{r!(n-r)!}$.
Imaginemos que tenemos 6 canicas en una caja. Si metemos la mano a la caja con los ojos cerrados y sacamos solamente tres canicas ¿de cuántas maneras diferentes se pueden sacar las tres canicas? Sabemos que todas las maneras diferentes de sacar las canicas está dado por la combinación
${6 \choose 3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6!}{3!(3)!}=20$.
Observemos este valor se encuentra en la posición 4 (esta posición se cuenta de izquierda a derecha) de la línea 6 (la línea que solo contiene al 1 es la línea 0, la línea que tiene $1 \ \ 1$ será la línea 2, la línea que tiene $1\ \ 2 \ \ 1$ es la línea 2 y así sucesivamente). En el ejemplo la posición 4 de la línea 6 tiene el valor de 20.
En el siguiente ensayo se puede leer más sobre algunas aplicaciones del triángulo de Pascal:
Hernández Montes, K. (2014). Triángulo de Pascal. La Unión de Morelos. Premio ACMor La Unión de Morelos al Ensayo Científico Juvenil., p. 34,35. Versión electrónica:
https://www.acmor.org.mx/?q=content/triángulo-de-pascal