Convertir decimal periódico a fracción

Question

En algunos libros de texto mencionan el algoritmo para convertir un decimal periódico en fracción, éste dice:

​Para pasar un número decimal periódico mixto a fracción, en el numerador, se escribe primero el número decimal (hasta el primer periodo) sin punto y se le resta la parte que está fuera del periodo, también sin punto  (es decir la parte entera unida a los decimales que se quedan fuera del periodo).

El número del denominador estará formado de tantos 9 como cifras tenga el periodo, seguido de tantos 0 como cifras decimales halla fuera del periodo.

Por ejemplo:

$$85.27865\overline{65}=\frac{8527865-85278}{99000}$$

Entiendo el algoritmo pero me gustaría saber si existe alguna forma de obtenerlo sin tener que aprenderse una serie de pasos.

Answer 1

 Para convertir un número decimal en racional podemos distinguir tres casos

1.Decimal exacto 

Por ejemplo: Sea $x= 5.217$ multiplicamos por $1000$ (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal) obteniendo $1000x=5127$, despejando tenemos $x=\frac{5127}{1000}$, por lo que $x=5.127 = \frac{5127}{1000}$.

2. Decimal periódico Puro

De manera similar, tomando un ejemplo: Sea $x=6.\overline{85}$, multiplicamos por $100$ (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) obteniendo $100x=685.\overline{85}$ ahora restando $x$ al resultado anterior, tenemos

$$100x - x = 685.\overline{85} -x= 685.\overline{85} -  6.\overline{85} $$

de donde se obtiene la ecuación $99x = 679$ y, despejando, obtenemos $x= 6.\overline{85}=\frac{679}{99}$.                                                                                 

3. Decimal periódico Mixto

Tomemos el ejemplo de $x=85.27865\overline{65}$, multiplicamos por $100,000$ (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo la ecuación 

$$100,000x= 8,527,865.\overline{65}, \qquad (\text{eq}1)$$ 

ahora multiplicamos ambos lados por $100$ (un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda), así 

$$100(100,000x=8,527,865.\overline{65})$$

es decir

$$10,000,000x=852,786,565.\overline{65}. \qquad (\text{eq}2)$$ 

ahora restando la ecuación eq1 a la ecuación eq2 tenemos que

$$10,000,000x-100,000x=852,786,565.\overline{65} - 8,527,865.\overline{65}.  $$

Simplificando, obtenemos

$$9,900,000x=844,258,700  $$ 

de donde $ x =\frac{844,258,700}{9,900,000}=\frac{8,442,587}{99,000}$. Por lo tanto, 

       $$  x = 85.27865\overline{65} =\frac{8,442,587}{99,000}. $$ 

 

  

 

Comments

Gracias por su respuesta.

Pero aún sigo sin entender cuál es el motivo por el cual se debe de multiplicar el decimal periodico mixto por un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal periodica. ¿Podría explicar mejor esa parte?

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Es un uno y no otra cantidad por que la idea es recorrer el punto decimal y ésto solo se logra al multiplicar por múltiplos de 10. La idea de multiplicar de esa forma es para poder quitar la parte decimal periódica, de tal manera que cuando se realiza la resta tenemos números enteros.

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Gracias, ya entendí, pero me parce que no necesariamente debemos de multiplicar por múltiplos de diez como usted menciona

Es un uno y no otra cantidad por que la idea es recorrer el punto decimal y ésto solo se logra al multiplicar por múltiplos de 10.

también podemos multiplicar por cualquier número que permita quitar la parte periódica, por ejemplo para convertir el número decimal $x= 85.27865\overline{65}$ a decimal también podemos multiplicar por $14500000$ y también multiplicarlo por $1450000000$. De esta forma al realizar la resta tendríamos $1450000000x-14500000x=122417511500$, y siguiendo un procedimiento similar al que menciona expresamos a $x= 85.278\overline{65}$ como fracción.

Por cierto, para obtener la ec. 1 no se debe de multiplicar por 100000 si no por 1000 ya que el periodo empieza a partir del primer 65.

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Es cierto, se puede multiplicar como dice pero siempre será mas fácil por un $1$. Saludos.