Matamatidudas - Valor de una suma infinita

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Un alumno me preguntó cuál era el valor de la suma infinita

$$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\cdots$$

Encontré una fórmula que menciona que $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}$ siempre que $|a|<1$.

Si considero la suma anterior podría factorizar $\frac{2}{3}$ y obtener

$$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\cdots= \frac{2}{3}\left[1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots\right]$$

Utilizando la fórmula que encontré obtendría

$$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\cdots =1$$

Sin embargo, no quiero explicarle a mi alumno éste procedimiento porque posiblemente me preguntaría de donde se obtuvo la fórmula. ¿Existe alguna otra forma de poder explicar que la suma es igual a uno sin tener que utilizar esta fórmula?

preguntado por igylu Oct 17, 2019 en Series

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Para el valor de la suma puede usarse la factorización del polinomio $x^n-1$ (raíces de la unidad) dividiendo entre $x-1$. De tal forma que:

$\frac{x^n -1}{x -1}= x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^2+x+1$

Sustituyendo $x=\frac{1}{3}$ en la exprersión anterior tenemos :

$\frac{\left ( \frac{1}{3} \right )^n -1}{\frac{1}{3} -1}= \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-2}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-3}+...+\left ( \frac{1}{3} \right )^2+\left ( \frac{1}{3} \right )+1$

simplificando tenemos

$1+ \frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}+...+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-2}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}=\frac{\left ( \frac{1}{3} \right )^n -1}{-\frac{2}{3} }$

$1+ \frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}+...+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-2}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}=-\frac{\left (1- \left (\frac{1}{3} \right )^n \right ) }{-\frac{2}{3} }$

$1+\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}}+ \frac{1}{3^{3}}+...+ \frac{1}{3^{n-2}}+ \frac{1}{3^{n-1}}=\frac{3}{2}\left (1- \frac{1}{3^n} \right )$

Ahora cuando $n$ tiende a infinito, tenemos el límite:

$\lim_{n \to \infty } \frac{1}{3^n }= 0$

por lo tanto

$1+\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}}+ \frac{1}{3^{3}}+...+ \frac{1}{3^{n-1}}+ \frac{1}{3^{n}}+ \frac{1}{3^{n+1}}+...+...=\frac{3}{2}\left (1- 0 \right )$

$1+\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}}+ \frac{1}{3^{3}}+...+ \frac{1}{3^{n-1}}+ \frac{1}{3^{n}}+ \frac{1}{3^{n+1}}+...+...=\frac{3}{2}$

retomando el problema original y sustituyendo:

$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+...=\frac{2}{3}\left [ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+... \right ]$

$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+...=\frac{2}{3}\left [ \frac{3}{2} \right ]$

$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+...=1$

respondido por irais Oct 24, 2019
seleccionada por quitzeh Nov 4, 2019

Me parece muy clara la respuesta en casi todo, solo que dice que cuando la $n$ es muy grande se tiene que $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{3^n}=0$. Entonces trate de ver para cuál $n$ se cumple que $\frac{1}{3^n}=0$ pero cuando trato de despejar, me sale que $1=0$ que ya es muy extraño. No sé qué es lo que pasa entonces o cómo se encuentra la $n$.

comentado por mariomm Oct 24, 2019

El limite de una sucesión, es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando $n$ toma valores muy grandes.

Así el límite de $\frac{1}{3^n}$ cuando $n$ tiende a infinito, es cero. Podemos ver para algunos valores de $n$ que pasa con la expresión $\frac{1}{3^n}$:

$n=0 \Rightarrow \frac{1}{3^0}=\frac{1}{1}=1$